本课程的主要任务在于将有限维Euclid空间中的微积分拓广深化至一般赋范线性空间上的微分学、有限维Euclid空间中流形上的微积分，并需要深化有限维Euclid空间中的微分学与积分学。由此，本课程涉及较高程度的数理思想与方法，且所涉及的内容都可谓为重点。

    为了面对本科生甚至是低年级本科生传授相关思想与方法，我们通过对“知识体系知识自身的研究而驱动对知识体系传播的研究”。以下按本课程涉及的主要内容，概述我们的做法——这些做法已经一定的教学实践，具有较为理想的教与学的成效。

 

第一部分 一般赋范线性空间上的微分学

   有限维Euclid空间上的微积分以向量值映照为基本研究对象，亦即所研究对应关系其自变量与因变量都含有若个数。然而，我们在生产实践中往往需要研究自变量为函数的对应关系——藉此，我们需要理解与掌握自变量与因变量都可以是一般赋范线性空间中元素的对应关系的微分学，亦即一般赋范线性空间上的微分学。

   我们研究发现，有限维Euclid空间中的微分学与一般赋范线性空间上的微分学具有高度的知识点甚至知识要素构成上的“相似性”，主要包括：①映照的极限；②映照的可微性；③映照的高阶导数；④无限小增量公式；⑤有限增量公式；⑥隐映照定理；⑦逆映照定理。——我们基于“相似性”设计了“有限维Euclid空间上的微分学”与“一般赋范线性空间上的微分学”的讲授方式，使得很多概念、结论与分析方式都具有高度的相似性。就此，我们建立一般赋范线性空间上微分学的过程相对于建立有限维Euclid空间上微分学的过程具有“温故而知新”的效果。

  

第二部分 有限维Euclid空间中微分同胚的深化理论

   这部分主要包括有限维Euclid空间上微分学的二个重要结果（国内现行微积分教材鲜有涉及）：①秩定理；②Morse定理。

   这二个定理的分析过程都基于有限维Euclid空间中的微分同胚，并基于微分同胚（可理解为引入新的坐标/曲线坐标）深刻揭示了向量值映照与多元函数的深层机制，且相关结果紧密联系于线性代数。我们在讲述有限维Euclid空间上微分学时已引入微分同胚（曲线坐标）的概念及其局部及全部存在性定理。上述二个定理在Riemann积分的换元公式分析、Euclid空间中微分流形的理解、常微分方程中相轨迹局部直线化与均匀化、偏微分方程中弯曲边界的展平/拉直，以及后续现代几何学中都起着基础性地作用，故本课程选择讲述上述二个定理具有“承上启下”与“温故而知新的作用”。另一方面，由于这二个定理的分析过程“精细”且“冗长”，我们充分采用定理内容与分析过程的“图示化展示”，课堂讲授中将分析过程对于的结果图示化，使得学生听讲时能试试感受分析背后的几何意义，具有理想的教与学的效果。

 

第三部分 有限维Euclid空间中流形上微积分基础讲授

   有限维Eucild空间中的基本对象为m维Euclid空间中的r维曲面，亦即一般形式的向量值映照。本部分将3维空间中曲线与曲面上的微积分推广至m维Euclid空间中的r维曲面的微积分，亦即有限维Euclid空间中流形上的微积分。这种层面的微积分将直接服务于力学、物理学、经济管理等领域所广泛面对的有限自由度系统的研究。

   流形上的微分学，主要阐述：①m维Euclid空间中的r维曲面为微分流形，按微分流形的一般定义引入参数形式与微分同胚形式的坐标卡与地图册，并说明二组之间的等价性。——这部分基于微分同胚的深化结果进行阐述。②引入带边流形与流形的定向。——这部分主要基于Jacobi矩阵的代数性质。③曲面上的标架及其运动方程——基于向量值映照的微分学。④曲面的局部Monge表示、曲面的法截线及其曲率——基于线性代数中正定对称阵与对称阵同时对角化的通识性结构获得。⑤流形上的张量场及其代数性质——按物理研究需要自然引入曲面上的张量场；基于我们所归纳的置换运算的性质，获得外积、反称张量（外形式）的性质。⑥流形上张量场的Lie导数及其力学意义——藉此表现数学与力学之间的关系。

   流形上的积分学，主要阐述：①m维Euclid空间中的r维曲面上的第一类与第二类积分。——类比于3维Euclid空间中2维曲面上积分给出高维曲面上积分的定义；明晰外形式在曲面上积分的意义。②曲面上积分的Stokes公式。

 

第四部分 有限维Euclid空间中Riemann积分的深化理论

   本部分将严格揭示Riemann积分的本质特征——零测集上的差异不影响可积性与积分值。分析上依然限制于Riemann积分而无需测度论的系统方法与结果。

   本部分主要阐述：①Riemann可积性的实质性判定定理，亦即Lebesgue定理。②实际计算Riemann积分的二个基本依据：Fubini定理与积分换元公式。——这些分析均显得“精致”且“冗长”，就此我们采用“复杂过程的要义分解”与“分析过程的图示化”方法进行阐述，经实践亦有较为理想的教与学的成效。

 

第五部分 测度论基础

    本部分将微积分的基本分析思想与方法结合基本的集合分析，为在一般抽象空间与有限维Euclid空间上的测度提供基础性地思想与方法。微分学方面，本课程将“有限维Euclid空间之间的映照”的微分学推广至“一般赋范线性空间之间映照”的微分学；积分学方面，本课程将“习以为常”的区间或方块的“体积”推广至“测度”，使得前者仅是后者的“沧海一粟”。

   本部分主要阐述：①一般抽象空间对应的σ-环上的外测度，经提取Caratheodory集类可以获得其上的测度。②建立距离外测度与距离空间中开集与闭集为可测集之间的对应关系。③作为实际事例，基于外测度的统一性理论，阐述有限维Euclid空间上Lebesgue测度的建立过程；阐述一般抽象空间对应的环上的测度，经Caratheodory扩张至的σ-环上的测度（可直接为Lebesgue-Stieltjes测度）的分析过程。

 

谢锡麟

2016年3月