本课程实现了将国内一般非数学类的微积分教学的广度与深度持平与具有一流国际水平的微积分教程的程度，诸如Zorich（卓里奇）著《数学分析》。此教程隶属俄罗斯数学教材选译之一，被举世闻名的数理大师V.I.Arnold誉为“迄今为止最好的分析学教程”。

    值得指出，Zorich的《数学分析》高度地表现了将数学思想与方法应用于认识自然世界的理念与过程。本课程亦秉承此种理念，并提炼为“数理观点”——将数理知识体系（思想与方法）认识为认知世界的思想与方法，而非仅限于数学逻辑。

    我们注重对知识体系的自身研究，并以此驱动对知识体系传播的研究。就此，本课程较为理想地实现了基于一般Euclid空间上的微积分向高层面微积分拓广与深化的过程，且课程始终具有优良的教与学的效果。

   《经典力学数学名著选讲》，历经近十轮次的教学研究与实践，现确定的主要内容，分为如下五部分。相关内容，按3学时/次，共计需20次，对应60学时；实际课程讲授50学时，可安排10学时的内容供学生自行进行在线学习，我们已建设课程体系网站“微积分的一流化进程”。

 

第一部分 一般赋范线性空间上的微分学 讲授3学时/次，共7次

    将有限维Euclid空间之间向量值映照的微分学推广到一般赋范线性空间之间映照的微分学，主要包括：

1.赋范线性空间之间映照的极限，涉及Cauchy叙述，Heine叙述，当值域空间完备时，又有Cauchy收敛原理；作为局部行为的连续性，完全在一般极限理论框架下作为个案处理；复合映照极限定理，强调非接触性条件。

2.基于极限观点，研究导数，现导数为定义域空间同值域空间之间的有界线性算子，此处赋范有界算子空间及其基本性质作为一般赋范线性空间的事例加以研究；引入“抽象张量”理解高阶导数，深入理解高阶导数通过高阶方向导数的计算理论；有限增量估计，需要基于线段上的闭区间套定理，处理思想及方法不同于有限维Euclid空间中的处理；混合方向导数交换次序的Schwartz定理；可微性的一个充分性条件。复合映照导数或微分的计算，包括抽象形式的链式求导法则等。

3. 无限小增量公式及其在极值点相关方面的应用。

4.基于完备赋范线性空间中有界闭集上的压缩映照定理，直接证明一般赋范线性空间上的隐映照定理及逆映照定理；隐映照定理及逆映照定理间的相互导出。此部分处理的基本思想及方法，甚至细节都一致与有限维Euclid空间中的处理。回顾m维Euclid空间中k维曲面的相关认识，积极寻求现有理论在相关领域的应用。进一步的学习与研究反映，隐映照定理及逆映照定理对后续知识体系的发展具有根本性的作用，所以对相关基本理论的掌握显得十分重要，个人认为只有掌握细节才能得以深入理解理论并加以灵活应用。

5. 完备度量空间中的压缩映照定理；相关理论在动力系统研究中的应用。

6.泛函临界点的计算理论/变分计算，包括按可微性定义以及方向导数二种处理方法；获得Lagrange函数之积分（泛函）的临界点所满足的Euler－Lagrange方程，包括含高阶导数情形以及高维情况；具体应用事例。

 

第二部分 有限维Euclid空间中微分同胚的深化理论 讲授3学时/次，共2次

    相关知识体系归纳为“有限维Euclid空间上微分同胚的局部存在性及其应用”，具体包括：

1. 微分同胚的局部存在性定理（逆映照定理）

2. 通过构造局部微分同胚证明：秩定理，Morse定理，微分同胚的局部初等分解等。

3. 相关理论的应用，包括：函数族的相关性，动力系统的首次积分等。

 

第三部分 有限维Euclid空间中流形上微积分基础讲授 3学时/次，共5次

1. m维Euclid空间中k维曲面的有关等价性定义，分别基于微分同胚以及列满秩图表及图册映照；流形边界的局部欧氏化（图表及图册）处理，边界图表基于具有特殊性的整体图表；流形定向及其诱导的边界定向；图表实现了流形上各点位置的标识，为进一步的微分及积分运算铺垫了基础。

2. 外积运算，k-form；推前及拉回映照；Lie导数；上述相关概念间的关系。

3. k-form在k-维流形上的积分；微分流形上的Stokes公式及其应用等。

4.上述相关理论在Lagrange力学、Hamilton力学等方面的应用；在经济管理领域方面的应用。微分流形上微积分的主要应用应该在于高维的抽象问题的研究，本课程一般为m维Euclid空间中k维曲面（流形）上的微积分，积极探索结合实际问题的有意义和有价值的应用。

 

第四部分 有限维Euclid空间中Riemann积分的深化理论 讲授3学时/次，共3次

1.闭方块上Riemann积分的Darboux大小和分析理论，主要基于Darboux和的“和谐式估计”以及确界相关分析理论。此部分内容完全是一维闭区间上相关理论的“温故而知新”。

2. 闭方块上Riemann积分存在的充分必要性条件，亦即Lebesgue定理。主要基于Riemann部分和极限之Cauchy收敛原理叙述及其相关估计。

3. 基于闭方块上Riemann积分的Lebesgue定理，结合集合特征函数，定义允许集上Riemann积分，以及相关积分性质。

4. 重积分及累次积分间的关系，亦即Fubini定理。

5. 基于微分同胚下Lebesgaue零测集的性质，系统证明积分换元公式等。

    

第五部分 测度论基础 讲授3学时/次，共3次

1.一般空间的σ-环上的外测度定义，测度定义及其基本性质；Caratheodory集类及其环、σ-环性质；外测度限制于Caratheodory集类成为测度。值得指出，基于外测度可以统一性地建立：一般集类上的测度（可先构造环上测度，然后进行Caratheodory扩展）；有限维Euclid空间中的测度（基于距离外测度）。

2. 距离空间与距离空间上距离函数的一般性质；距离外测度的定义，基于距离函数的一般性质证明距离外测度等价于全体闭集为可测集。建立有限维Euclid空间中的测度。全空间为实数轴的环上Lebesgue-Stieltjes测度，及其Caratheodory扩张。