我们将微积分“知识体系”分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干“知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。
第一部分有限维Euclid空间上的微分学
1.有限维Euclid空间（Cartesian空间）：①按等价性观点（一一对应）理解公理化定义（包括定义加法及数乘，使其成为线性空间）、几何化（引入典则基，Cartesian坐标，加法的平行四边形法则等）。②有限维Euclid空间的实际背景，从具体研究过程中提取。
2.有限维Euclid空间之间映照（常称为向量值映照）的极限：①向量值映照的实际背景。②对比一元函数极限研究，引出Euclid空间中距离的概念，进而定义作为线性空间的Euclid空间的范数。基于距离，可定义球形邻域；籍此定义点列收敛。③基于球形邻域，可完全类比与一元函数情形，定义向量值映照的极限，包括Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性结论，向量值映照极限的Cauchy收敛原理。连续性作为特殊的映照极限加以研究。④复合向量值映照极限定理，强调非接触性条件。⑤向量值映照极限等价于其各分量的极限（本性质由Euclid空间中距离性质决定），籍此结合多维函数极限的四则运算以及复合向量值映照极限定理，获得向量值映照极限的具体计算方法。
——第1周（叙述上述内容，下同）
3.向量值映照导数Ⅰ：①向量值映照的可微性定义。可微性为映照的局部行为，其实质为基于线性映照来“逼近”因自变量变化而引起的因变量的变化，误差为因变量变化的一阶无穷小量。由此，首先需要澄清不同维数Euclid空间之间线性映照的定义及其表示形式（引入线性映照矩阵）；然后分析的可微性定义的表示，引入作为线性映照矩阵的Jacobian矩阵，该矩阵的分量则为向量值映照各分量相对于自变量各分量的偏导数；上述整个过程对于理解可微性定义至关重要。②向量值映照方向导数，通过极限定义；当可微时，则对所有的方向导数存在；沿Cartesian坐标轴的方向导数定义为向量值映照对自变量各分量的偏导数，由此Jacobian阵的每一列可理解为向量值映照的各个偏导数，此概念直接服务于今后引入曲线坐标系（微分同胚）所诱导的局部基。③复合向量值映照的可微性定理。分析过程基于复合向量值映照的极限定理，注意有关非接触性条件的处理。④多维函数高阶偏导数。多维函数高阶偏导数的定义基于低一阶多维偏导函数之有关坐标轴的方向导数；本课程不拟引入向量值映照的“高阶导数”，因为这需要引入抽象空间之间的线性映照。⑤复合向量值映照可微性定理直接提供了复合映照导数的链式求导法则，要求掌握向量值映照复合向量值映照的一般情形，基于分块矩阵运算；这种形式对于今后处理由隐映照定理决定的隐映照之导数运算十分重要。⑥向量值映照导数的几何应用。（ⅰ）我们将m维Euclid空间中的曲线认识为单参数向量值映照，其Jacobian阵为列向量，即为曲线在当地的切向量；按可微性定义认识曲线当地切线的意义。（ⅱ）曲面认识为参数为m-1维的向量值映照，其Jacobian阵如为列满秩，则其各个列向量（值域空间中各坐标曲线切向量）构成当地m-1维切空间；说明曲面上曲线的切向量一定位于切空间之中；按线性代数中齐次线性方程组有关结论获得法向量的确定方法。
——第2周、第3周
4.向量值映照导数Ⅱ：①多维函数在直线段上的有限增量估计，分析上基于一维函数的Lagrange中值定理以及多维函数方向导数的定义。②多维函数可微性的一个充分性条件。③多维函数混合偏导数相等的一个充分性条件（Schwartz定理）。上述结论②和③的分析过程，均基于①。
——第4周
5.多维函数的无限小增量公式及有限增量公式：①多维函数无限小增量公式及有限增量公式的获得都是将自变量变化限制在直线段上，由此应用一维函数的无限小增量公式及有限增量公式，结合复合映照可微性定理，以获得相关结论。②获得复杂多维函数无限小增量公式的系统方法，主要思想为基于一维函数的相关展开式以及多项式展开的唯一性结论。③多维函数有限增量公式的多种形式，Lagrange余项形式及积分余项形式。④多维函数有限增量公式在近似计算中的应用，余项直接提供了误差估计（无限小增量公式实际并未提供估计误差的方法）；具体应用事例可采用Lagrange插值公式等。
——第5周
6.隐映照定理及逆映照定理：①有限维Euclid空间中点集拓扑最为基本的概念，包括开集、闭集；闭方块套定理，有界闭集（紧致集）之开覆盖有限覆盖定理。②有限维Euclid空间中有界闭集上连续函数的基本性质，分析上主要基于闭方块套定理，结论完全类比于一维Euclid空间情形。③有限维Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理（不动点定理），籍此构造性地直接证明隐映照定理和逆映照定理；隐映照定理及逆映照定理的相互推导；上述分析过程较为系统和冗长，但提供了系统分析的实践事例，整个分析过程脉络清晰（关键技术仅涉及压缩映照定理以及向量值映照模的有限增量估计），实践全部细节对于深入理解和掌握定理显得十分重要。④隐映照定理应用，主要包括：（ⅰ）m维Euclid空间中k维曲面的隐式表示形式，主要给出了k维曲面的局部Monge型表示的存在性，但未直接给出曲面的向量值映照表示；给出了局部Monge型曲面的Jacobian矩阵。（ⅱ）m维Euclid空间中的1维曲面，即为一般意义下曲线，可确定切向量、切线；m维Euclid空间中m-1维曲面,即为一般意义下曲面，可确定各切向量、切空间及法向量。（ⅲ）条件极值问题。一般约束方程可理解为m维Euclid空间中k维曲面（1<k<m）的隐式表示形式；由于目标函数定义在曲面（约束）之上，通过曲面的局部Monge型表示，故原目标函数等价于直接定义在曲面定义域上的函数；进一步可获得其极值点的控制方程。Lagrange条件极值的系统性处理方法（Lagrange乘子法）可理解为一种形式化处理，使得Lagrange函数之临界点控制方程与原处理所得方程一致。⑤逆映照定理应用，主要包括：（ⅰ）确定全局意义微分同胚的一个充分性定理。（ⅱ）微分同胚提供了将“不规则区域”（物理域）变化为“规则区域”（参数域）的一般方法，籍此我们可以将发生在物理域上的事件“等价性”地转换为参数域上的事件，具体为将物理域上的偏微分方程转换为参数域上的偏微分方程；逆映照定理提供了全部的细节需要。
——第6周、第7周、第8周（含“有限维Euclid空间上的微分学”的书面考试）
第二部分 有限维Euclid空间上的积分学
1.有限维Euclid空间中闭方块上函数的Riemann积分：①Riemann积分部分和的极限定义，澄清其Cauchy叙述、Heine叙述以及Cauchy收敛原理。②Darboux大和及小和的分析性质，主要为“和谐式估计”；引入振幅和。③Riemann可积的五种等价性判据，分为Darboux和与振幅和二类表示。以上内容完全类比于闭区间上情形。④闭方块上Riemann可积的Lebesgue定理（充分必要性条件），需引入Lebesgue零测集概念，给出证明细节（反映Riemann积分的本质性质）。
2.Jordan可测集上Riemann积分：①Jordan可测集，籍此结合集合的特征函数定义Jordan可测集上Riemann积分，此过程需要利用Lebesgue定理。②Jordan可测集上Riemann积分的基本性质。
——第9周
3.Fubini定理：按Riemann积分的Darboux和分析，证明Fubini定理（不失一般性，可基于闭方块形式加以说明）。
4.Jordan可测集上Riemann积分的积分换元公式：①微分同胚下Jordan可测集的基本性质。②积分换元公式的系统性结论：可划分为三个定理；清晰叙述相关内容，要求在实际应用中严格检验相关条件。③Jordan零测集、Lebesgue零测集的若干事例。④积分换元公式的系统性证明，主要技术要点为：（ⅰ）微分同胚下Jordan可测集的性质；（ⅱ）微分同胚局部可分解为简单微分同胚之复合；（ⅲ）有关零测集的处理。注：细节可暂不做要求。④高维广义积分定义及有关结论。
5.重积分具体计算方法：积分换元公式及Fubini定理实质性地提供了重积分计算的解决方案。应用事例，包括（广义）球坐标系、（广义）柱坐标系、线性变换等基本变换形式；在建立微分同胚时，可以基于参数域至物理域或者物理域至参数域二种映照形式。
——第10周
6.三维Euclid空间中曲面积分：①以双参数向量值映照理解三维空间中的曲面，其上标量函数的积分（第一类曲面积分）通过参数域上相关函数的积分加以定义；对此定义给予几何解释。②曲面上向量场通量形式的积分，可以通过标量函数的积分加以处理。③曲面积分的实际计算，首先需明确曲面的向量值映照表示，然后在参数域上按相关积分进行即可；无需记忆一般教程中的公式。本课程不刻意区分第一类、第二类曲面积分。
——第11周
7.曲线积分、曲面积分及体积分之间的相互转化：①Gauss-Astrogradskii公式，建立了曲面积分及体积分之间的关系。（ⅰ）其理论基础，即为一元微积分中的Newton-Leibinze公式；Gauss-Astrogradskii公式对相关向量场的正则性可有两种要求，其一为直至边界连续可微；其二为内部连续可微以及直至边界连续，此种情形需要体积意义下内部逼近。（ⅱ）按上述分析，Gauss-Astrogradskii公式可有二种形式，其一面上积分为向量值的通量；其二面上积分为标量函数数乘单位法向量的积分，后者提供了阿基米德浮力定理的直接证明。②Green公式，建立了平面上线积分同面积分之间的关系。（ⅰ）可在特定柱型体上对平面向量值应用Gauss-Astrogradskii公式，可获得二种形式的Green公式，其一线上积分为做功型，其二线上积分为通量型。（ⅱ）Green公式对平面向量场正则性的要求完全继承Gauss-Astrogradskii公式的相关要求。③Stokes公式，建立了三维空间中线积分同面积分之间的关系。理论分析上可从做功形式的线积分开始计算，作为曲面边界的三维曲线其原像为二维参数域的边界，对此可引入单参数向量值映照；由此通过复合映照形式给出三维空间中曲线的向量值映照；经曲面参数域上的Green公式，结合分块矩阵运算，可获得原向量值做功形式的线积分等于其旋度在曲面上的通量；三维向量值之旋度，为其Jacobian阵的反称化矩阵所确定的对偶向量。
8.场论初步：基于上述三大积分公式，阐述场论的最为基本的理论。①场论的研究对象为标量场、向量场；按映照观点“场”可理解为自变量为空间位置刻画量的标量值或向量值映照；场论的主要内容即为利用微积分研究各种场及其间的关系。②标量场之梯度，向量场之散度与旋度的物理意义。③无旋场的标量势；一般向量场的标量势及向量势分解，亦即Stokes-Helmholtz分解
——第12周、第13周（含“有限维Euclid空间上的积分学”的书面考试）
第三部分 级数
1.数项级数：①数项级数，按极限观点，即为其部分和点列（序列）的极限；由此可按一维Euclid空间中点列极限的理论加以研究；特别地，按点列的Cauchy收敛原理，级数收敛等价于其部分和点列为Cauchy点列。②正项级数敛散性的各种判别法（充分性条件），可以“比较的思想”加以统领，具体内容包括“比较的形式”以及“比较的对象”。③一般数项级数的收敛性研究，主要将部分和点列的Cauchy收敛原理结合Abel和式估计。一般数项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其之间的关系。
——第14周
2.函数项点列与函数项级数：①函数项级数，按极限观点，即为其部分和点列（序列）的极限。②函数（项）点列的极限，可有共同定义域上点点收敛及一致收敛二种形式。对于一致收敛有相应的Cauchy收敛原理；点点收敛基础上可定义极限函数，籍此可进一步研究函数点列是否一致收敛于极限函数。③函数项级数的一致收敛辨别法（充分性条件），主要思想为将部分和点列一致收敛的Cauchy收敛原理结合Abel和式及其估计。 ④函数点列的分析性质。主要基于一致收敛性及相关分析（估计）方法；主要结论涉及极限函数的正则性，求极限同求积分或求导数的可交换性。⑤函数项级数的分析性质。基于函数点列的分析性质，即可获得函数项级数对应的分析性质。⑥函数的级数表示。（ⅰ）一般基于函数的有限增量公式，当其余项随展开项数趋于零，即得点收敛意义的数项级数表示；当数项级数表示可在一定区间上成立，即得函数在此区间的函数项级数表示，实际为多项式形式逼近。（ⅱ）结合函数项级数的分析性质可获得较复杂函数的函数项级数表示。
——第15周
3.幂级数：①幂函数为特殊的函数项级数，故函数项级数的相关结论均适用于幂级数。②幂级数的收敛半径及收敛域；幂级数同其对应的“逐项求导的幂级数”以及“逐项求积的幂级数”具有相同的收敛半径，但收敛域可以互为独立。③幂级数的内闭一致收敛性，基于函数项级数一致收敛的判别法。④函数的幂级数表示。主要基于基本初等函数的幂级数表示；幂级数的分析性质（直接来源于一般函数项级数的分析性质）；幂级数内闭一致收敛性。⑤幂级数理论的应用。主要包括：函数积分的幂级数表示；利用常微分方程之解的幂级数表示等。
4.Fourier级数初步理论：①一维实空间上周期函数的三角函数级数（Fourier级数）表示理论。②基于上述理论，获得某区间上函数的Fourier级数表示；正弦或余弦展开的相关方法。③函数内积意义下的三角函数逼近。需涉及抽象的内积空间（函数内积空间），单位正交系（包括Gram-Schmitz单位正交化过程）。本部分暂不要求理论分析细节，仅需掌握基本的结论及其应用。
——第16周、第17周
注：一般在考试周（第18、19周）安排二次集中性课程辅导，主要内容为再次澄清知识体系，亦即各知识要点及其所包括的知识要素。
由于正常课时仅能完成基本理论及应用的讲授，故以“温固而知新”为理念，以课外学术讲座或者经典导读（结合书院工作）形式，补充进行如下提高性内容的讲授。
课程辅导：微积分与线性代数的若干补充内容（对应第二学期教学）
- 基于向量值映照获得单位正交系（柱、球等坐标系）下速度、加速度表达形式，分别基于微积分方法和线性代数方法。
- 基于向量值映照研究 曲线基本几何性质：曲率、挠率及Frenet标架等。
- 基于向量值映照研究 曲面基本几何性质：此部分 基于线性代数中的一个习题“一个正定对称阵及对称阵可以同时进行合同对角化”籍此澄清曲面两个基本几何量、Guass曲率、平均曲率以及截曲线、法截线以及主法截线曲率等基本概念及基本结论。注：此前我们已对曲线上的Frenet标架及其运动方程进行了说明，此次将进行曲面上基本性质、标架及其运动方程的叙述。
- 关于矩阵秩的说明（矩阵秩的概念澄清及秩的各种估计）——基于分块矩阵运算技术
- 积分换元公式的系统证明，基于微分同胚的相关结论。
- 场论的有关深化内容，可涉及数学物理方法中有关内容，如Green函数及其应用，位势理论等。
- Fourier级数的有关说明
拟基于7－8次讲座完成相关内容的叙述。需注意，（1）各讲座间内容的独立性，开学初就定好时间安排，以供学生选择。（2）可向更多的同学进行宣传。
