我们将微积分“知识体系”分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干“知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。
第一部分 一维Euclid空间上的微分学
1. 微积分研究的主要对象、基本研究思想及方法：①函数（映照）的基本概念，她将成为微积分研究的主要对象。②微积分知识体系的层次，本一年制课程将主要包括一维Euclid空间上的微积分，有限维Euclid空间上的微积分以及级数。③主要建议学习方法：（a）坚持“正本清源”，要求澄清各个知识点的来龙去脉以及整个知识体系间的融会贯通。（b）坚持“稳固而知新”，基于微积分知识体系辐射型发展的特点，努力以已有的知识发展新的知识。（c）坚持“将学问升华为能力”，微积分知识体系可谓我们认识自然及非自然世界系统的思想及方法之核心，在对知识体系融会贯通的基础上追求触类旁通。这将有二方面的作用，其一具有自我学习（吸取）更深入知识体系的能力，反映为具有好的学问；其二将知识体系融合精神，使其真正成为我们认识自然及非自然世界的能力。
2. 数列极限概念：概念引入或提取可基于阿基米德曲边梯形之面积计算过程。①引入一维Euclid空间作为线性空间（线性结构）、赋范线性空间（范数）以及由范数所诱导的距离的概念；籍借距离引入球形邻域（现即为开区间）概念。②基于距离及球形邻域，引入点列（数列）极限的定义。③点列极限的分析及运算性质。注：将一维Euclid空间作为一般有限维Euclid空间的特列进行说明，可使得学生一开始就有个“总体性框架”：我们将最终建立有限维Euclid空间上的微积分；先从一维情形开始，然后推广至有限维情形，且此推广过程几乎就是一维情形的思想及方法的再次实践；知识体系呈辐射形式发展。
——第1周（叙述上述内容，下同）
3. 确界：①上、下确界基本概念；分别作为最小的上界和最大的下界。②确界存在性定理。③基于确界存在性定理系统获得：单调有界必收敛 → 闭区间套定理 → Bolzeno-Weierstrass定理 → 点列收敛的Cauchy原理。④点列收敛的Cauchy原理的一则应用，一维Euclid空间上的Banach压缩映照定理（不动点原理）及其应用。相关事例体现“高等数学”的意味。注：限于实际的学时，教学具体对象及目标等，暂不考虑实数构造理论的细节，故承认确界存在性定理，且籍此开展所有的分析。
4. 函数极限：①函数（映照）的概念。②将函数极限理解为函数的某种局部行为，给出Cauchy叙述及Heine叙述；通过邻域（距离）加以表述，涉及广义邻域的定义，籍此给出数列极限统一叙述（包括当自变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形，因变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形）；需要掌握相关局部行为的图示表达。③函数极限的Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性；函数极限的Cauchy收敛原理。④函数的连续性作为函数极限特殊情形处理。⑤复合函数极限定理；叙述统一形式并加以证明。
——第2周
5. 若干重要的函数极限：①主要通过不等式估计获得若干重要的函数极限。②无限小分析的Landau方法（带小o的分析）。Landau的无限小分析方法可谓是经典哲学观点“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的具体体现。注：现尚未引入基于无限小增量公式的系统方法，但基本的分析思想及方法可见一斑。
6. 函数导数：①函数的可微性定义。可微性为函数的局部行为，其实质为基于线性映照来“逼近”因自变量变化而引起的因变量的变化，误差为因变量变化的一阶无穷小量。由此，首先需要澄清二个一维Euclid空间之间线性映照的定义及其表示形式。②函数可微性的具体表示：（a）通过Landau符号；对其几何意义的说明，可自然引入切线的概念。（b）通过极限；由此常称导数为因变量相对于自变量的变化率。③基于Landau的无限小分析获得导数的基本运算性质（四则运算）。④基于Landau的无限小分析获得基本初等函数的导数。⑤基于复合函数的极限定理获得复合函数的可微性定理。基本初等函数的导数以及复合函数的可微性定理为计算复杂函数的导数提供了基本方法。⑥高阶导数：定义为第一阶导函数的导数。
——第3周
7. 有限闭区间上连续函数的基本性质：相关结论隶属闭区间上连续函数的全局行为；需指出，就整个微积分知识体系而言，所发展的相关思想及方法多数仅适合函数局部行为的研究（如导数），而对全局行为的研究缺乏系统的思想及方法。本部分知识体系的发展，（Ⅰ）非导数相关结论（仅有闭区间上连续）：闭区间套定理（核心基础，基于单调有界必收敛）→（a）有界性定理（闭区间上连续函数必有界）→确界可达性定理（最值定理，函数在某些点取值即为确界值）；（b）介质定理（朴素及一般形式）。（Ⅱ）导数相关结论（闭区间上连续，且内部可导）：Fermat引理（核心基础，如函数在其极值点可导，则导数为零） → Rolle定理 → Lagrange中值定理 & Cauchy中值定理。
——第4周
8. 无限小增量公式基本理论及应用：无限小增量公式为研究函数局部行为的主要方法。①无限小增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式。②基于无限小增量公式研究函数局部行为的基本方法。其知识要素包括：（a）若干基本初等函数的无限小增量公式，可通过公式直接获得；（b）复合函数极限定理；（c）“逐项可求”以及“逐项求积”二个技术性引理；（d）Landau符号的运算（反映抓住主要矛盾，忽略次要矛盾）。③无限小增量公式的应用。主要包括以下方面：（Ⅰ）获得复杂函数的多项式逼近，籍此亦成为处理复杂函数极限的重要方法。（Ⅱ）力学或物理学等学科中往往采用“微元分析法”获得对所研究事务的控制方程（现为常微分方程，亦即可含有函数本身及其导函数的等式），其分析过程可分为三步骤：（a）基于力学或物理学规律对“微元”建立模型；所建立的模型往往含有“小量”（常包含在函数的自变量中）。（b）对模型中的“小量”按无限小增量公式展开，然后在等式两边取令“小量”趋于零的极限以获得常微分方程。（c）对所获得的常微分方程的分析。具体应用可选取“牧童绕树牵牛”机理；悬链线方程推导等。
——第5周
9. 有限增量公式基本理论及应用：有限增量公式为研究函数全局行为的主要方法。①有限增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式，此时余项为Lagrange型。②有限增量公式的一般形式：（a）Schlomilch－Routh型，其特殊情况包括Lagrange型以及Cauchy型余项；（b）积分型余项。③基于有限增量公式研究函数的全局行为。主要包括以下方面：（Ⅰ）误差估计。主要基于对各种形式余项的估计。（Ⅱ）函数或其某阶导函数在区间上的界的估计。其知识要素包括：（a）选取特殊点对建立有限增量公式，以此获得函数或其某阶导函数的估计形式；（b）一般可基于最值问题的处理方法获得上述估计形式的界。④相关应用事例。注重同实际问题的结合。
——第6周
10. 基于导数定性研究函数的全局行为：主要包括以下方面：（Ⅰ）体现为函数定性作图。其知识要点包括：（a）斜渐近线。基于最值问题获得点到直线的距离公式；基于上述距离公式的极限引入渐近线；基于上述极限获得渐近线的确定方法。（b）单调性同一阶导数（符号）间的关系。（c）凹凸性同二阶导数（符号）间的关系。此处，需给出单调性以及凹凸性的定义。（Ⅱ）基于单调性及凹凸性获得一些重要的不等式，包括：（a）凹凸性的Jensen不定式刻画。（b）基于对数函数的凹凸性获得Young不等式，籍此获得Holder不定式→ Minkowskii不等式。（c）调和平均、几何平均和算术平均间的关系。
——第7周
11. 逆映照定理（反函数定理）：①一维Euclid空间中微分同胚的概念；逆映照定理实质为局部微分同胚存在性定理。②基于一维Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理系统证明一维Euclid空间中的逆映照定理。先前已叙述整个一维Euclid空间上的压缩映照定理，现再叙述有界闭集上压缩映照定理，可以温故而知新。③含参数映照的导数计算及应用：（Ⅰ）含参数映照导数计算的理论依据为：先由逆映照定理建立相应的对应关系（函数形式），再按复合函数求导法则（复合映照可微性定理）进行。（Ⅱ）相关应用：一般平面运动方程的推导，包括基于局部基（沿切向及法向的单位正交基）以及极坐标基二种形式。涉及一般形式曲率及曲率半径的概念及计算公式；曲率亦为曲线的一种局部性质。需澄清曲率的“符号”同轨迹（曲线，以参数形式刻划）局部凹凸性及运动方向间的关系。
——第8周
第二部分 一维Euclid空间上的积分学
1. 闭区间上Riemann积分的基本概念：①Riemann积分的实际来源。归纳出，相关问题之数学模型建立的分割、选取、求和、求极限的分析过程。②Riemann积分理解为部分和的极限定义。对此极限可按Cauchy叙述、Heine叙述以及Cauchy收敛原理理解，且三者等价（此过程也为温故而知新）。
——第9周（含“一维Euclid空间上的微分学”的书面考试）
2. 闭区间上Riemann积分的分析性质：①Darboux大和及小和的基本分析性质，主要形式为“和谐式估计”。②Riemann积分的充分必要性条件（判别法）：（a）基于Darboux和的表示。（b）基于振幅和的表示。此处需引入振幅的概念及基本性质（作为确界分析的一个事例）。③Riemann积分的Riemann判别法（充分必要性条件）；通过振幅和分析。④Riemann可积函数类，包括：单调函数、连续函数、连续函数复合可积函数（基于Riemann判别法）。⑤Riemann积分的基本分析性质，主要包括（Ⅰ）分析性质，包括：（a）在有限离散点上改变可积函数的取值，则此函数仍然Riemann可积，且积分值同原函数积分值一致。（b）将任意闭区间分成若干互不相交的闭子区间，则函数在整个区间上可积性等价于各闭子区间上的可积性，且整个区间上的积分值等于各闭子区间上积分值的和。（c）单调性等。（Ⅱ）运算性质：四则运算性质。可基于振幅和分析获得可积性；或直接基于部分和分析获得可积性及积分等式。
——第10周
3. 定积分的计算方法：定积分即为闭区间上的Riemann积分；其计算方法，按结论的获取方式可分成以下二类：（Ⅰ）直接基于部分和的极限定义，表现形式有积分换元法。此时，被积函数仅要求在闭区间上可积。（Ⅱ）基于Newton－Leibniz公式，表现形式有积分换元法，分部积分法。（a）Newton－Leibniz公式要求被积函数在闭区间（积分域）上连续，由此一定存在原函数；按原函数的构造形式（基于变动积分上限）即可获得定理的结论。（b）基于Newton－Leibniz公式的积分换元法，要求被积函数在闭区间上连续。
——第11周
4. 不定积分：原函数的获取往往可基于不定积分（导数的逆运算）。求不定积分具有较为系统的方法，（Ⅰ）按求解方式，包括：第一类积分换元法，第二类积分换元法（真正意义的换元法），分部积分法。（Ⅱ）按求解策略，可分为：（a）基于被积函数的特定结构（可掌握若干事例；一般而言，特定技巧性较强而系统性较弱）。（b）有理化过程。按不定积分获得的“原函数”，可能需要再做些“修正”，而成为符合严格定义的原函数；然后可基于Newton－Leibniz公式计算定积分。
——第12周
5. 定积分的应用理论：定积分的应用表现为分割、选取、求和以及求极限的数学建模过程。①基于定积分的分析理论，定积分的应用可以分为二类：（Ⅰ）“数学分析所得结论可直接确认为真理”；此时经分割的各微元的真实几何量值之和可以由相应的Darboux小和和大和控制。主要包括： 平面曲边梯形面积计算；平面曲边扇形面积计算；旋成体体积计算等。（Ⅱ）“数学分析所得结论需要实践检验才能确定为真理”；此时经分割的各微元的真实几何量值之和不能由相应的Darboux小和和大和控制。主要包括：有限维Euclid空间中曲线弧长（折线逼近），此处曲线可为以参数形式给出的一般空间光滑曲线；旋成体侧面积计算（利用圆台侧面积计算），此处旋成体的母线可为以参数形式给出的一般平面光滑曲线。②基于定积分的建模思想及方法，对力学及物理学等学科方面的对象进行建模。基本的思想为获取微元上的“近似”的量，然后对部分和取极限，即得定积分；建模的正确性往往需要经实践检验。
——第13周
6. 一维广义积分：①广义积分可分为二类：（Ⅰ）积分限为无穷的定积分；（Ⅱ）被积函数在积分域上的某些点发生奇性的定积分，常称为瑕积分。对于上述二类广义积分均通过引入变动积分限的函数，并研究其相应的极限以定义广义积分的敛散性。②函数极限的Cauchy收敛原理成为研究广义积分敛散性的基本方法。最为基本的形式可为被积函数的绝对值由某正值函数控制，故当正值函数收敛时广义积分必收敛。进一步，广义积分收敛性可分为绝对收敛和条件收敛。③通过Abel和式推导一般形式的定积分中值定理；将此联系与广义积分的Cauchy收敛原理，可以获得广义积分敛散性的一般判别方法；相关方法适用于收敛性的直接研究而非通过控制函数。注：作为一种特定技术，Abel和式及其估计在后续的级数理论中仍将起到重要的作用；由此，我们将Abel和式及其估计作为“数学通识”中的一例。
——第14周
第三部分 常微分方程基础
1. 实变量复值映照（函数）：①引入复数赋范线性空间，亦即一维复空间；涉及线性结构，范数及其诱导的距离。两复数间的乘法运算成为复空间的特有性质。②复指数函数的极限定义及其表示的Cauchy公式。Cauchy公式可为微积分拓展至复空间的重要基础。③实变量复值映照的极限，可微性，Riemann可积性等定义及结论；即自变量空间为一维Euclid空间，应变量空间为一维复空间的映照的微积分。可完全参照一维Euclid空间中的微积分展开；此过程也作为温故而知新的实践。
——第15周（含“一维Euclid空间上的积分学”的书面考试）
2. 实变量复值映照的常微分方程：①一阶变系数线性非齐次常微分方程的求解，利用常数变易法的思想。②二阶常系数线性齐次微分方程的求解，利用算子分裂的思想。③若干事例。可取由Kepler行星运动定律推导Newton万有引力定律；由Newton万有引入定律推导Kepler行星运动定律；此过程所需的平面运动方程在极坐标基的形式先前已有推导。注：第一学期的一元微积分以及此处的常微分方程基础将为大学物理（普通物理）的学习提供必要而充足的数学基础。
——第16、17周
注：一般在考试周（第18、19周）安排二次集中性课程辅导，主要内容为再次澄清知识体系，亦即各知识要点及其所包括的知识要素。
由于正常课时仅能完成基本理论及应用的讲授，故以“温固而知新”为理念，以课外学术讲座或者经典导读（结合书院工作）形式，补充进行如下提高性内容的讲授。
课程辅导：微积分与线性代数的若干补充内容（对应第一学期教学）
- 实数构造理论。
- 基于拓扑基的函数极限理论。可对比现有的基于一维Euclid空间中球形邻域的处理。主要参照俄罗斯数学教材选译中的有关叙述。
- 以参数形式给出的一般平面曲线的定性作图。
- 不定积分的进一步归类处理。主要包括Cauchy积分公式，椭圆积分等。
- 定积分换元公式的应用。主要包括定积分数值计算上的应用。
注：此部分内容尚需在进一步教学研究与实践中进行考虑；可按实际情况进行调整。
