什么是数理逻辑？就字面意思而言，``数理逻辑'' 至少包含两方面的含义。一是“使用数学”，即，以数学为工具来研究逻辑；二是“为了数学”，以数学里面出现的或是数学家常用的逻辑为研究对象。首先，我们使用数学的符号语言，这种语言本质上可定义为自然数和自然数的序列这样的数学对象。我们还频繁地使用数学中的各种工具，如数学归纳法，紧致性定理等等；频繁地引用数学中的定理，如数论基本定理，中国剩余定理，佐恩引理等等；并且我们的研究成果（所下的结论）也都是以数学定理的形式表述的。从这一角度来看，与用数学研究几何图形或物理方程没有太多区别，只不过我们的研究对象是逻辑而已。

其次，数理逻辑研究目标，归根到底是要指出哪些命题是真的，而且是不依赖于物理世界的事实而为真的；哪些证明、或推理的形式是正确的，它们正确的依据又是什么。例如，2+2=4是真的，但这不依赖于“两双鞋子的总数”或“汽车前轮加后轮的个数”这样的物理事实。它的真必定植根于关于另外一个世界的另外一些事实中。再例如，勾股定理的证明是正确的，它的正确性并不依赖于我们对任何一个直角三角形的直角边和斜边的测量结果，而必定依赖于另外一些非物理对象的属性。这些例子足以说明，为什么只有在逻辑与数学结合后才成为深刻、“伟大”的学科。蒯因（W.V.Quine）曾说：“逻辑是一门古老的科学，但1879年以后成为一门伟大的科学。”1879年弗雷格出版了《概念文字》，标志着现代数理逻辑的诞生。因为究其本性，逻辑研究的现象是超越于物理世界和物理事实之上的。在这里，没有任何物理意义上的偶然性。另外还值得一提的是，虽然这个超越物理世界的宇宙尚属于神秘之域，我们对其知之甚少，但有一点是可以肯定的：它是无穷的。而处理无穷世界带来的困难是数理逻辑发展的主要推动力之一。

以上两点综合起来，就是沙拉赫（Saharon Shelah）所说的，数理逻辑是以“数学的方式研究数学”。事实上，数理逻辑主要研究的是数学证明形式的“对错”，数学语句的真假以及数学结构的性质。所谓“以数学的方式研究数学”，就是把数学语句、数学结构、数学证明等等作为数学对象，然后用已有的数学理论研究它们的性质。

当然仅停留在字面上的解读是远远不够的，比如，从以上的解读中，我们还看不出数理逻辑和哲学有什么关系，看不出为什么全世界的哲学系都要开设数理逻辑的课程。这当然很难用简短的篇幅进行解释，也不是本书要解决的问题。不过，那个逻辑事实植根于其中的超越于物理世界的宇宙是什么样的存在呢？无穷究竟有哪些特别的性质呢？这些不都是关乎根本的哲学问题吗？

也许，只有通过学习数理逻辑，熟练地掌握它的内容、方法和技巧以后，才能真正开始讨论“什么是数理逻辑？”这个问题。不过到那时候，你可能又会想起陶潜的诗句：“此中有真意，欲辨已忘言。”