第一部分 命题逻辑（约10学时）

在这一部分，我们将全面讨论有关命题逻辑的内容。由于几乎所有的逻辑问题在命题逻辑中都显得十分直接和简明，所以这一部分可以看做一阶逻辑内容的简明版本，可以视为一个很好的热身。主要内容包括：命题逻辑的形式语言，真值指派，合式公式的无歧义性，命题连接词的互相可定义性，命题演算的（若干）公理系统，命题逻辑的完全性定理，以及模态逻辑简介。

 

第二部分 一阶逻辑的语法（约10学时）

从这里开始正式学习一阶逻辑的内容。首先我们给出一阶语言的初始符号和形成规则，然后讨论有关一阶语言的一些重要概念，这包括子公式、 自由和约束变元、代入和替换。我们还会学习如何用这种形式的语言翻译自然语言中的语句，这主要是来自数学和哲学中的一些命题，通过练习我们会发现，一些传统上困难而模糊不清的哲学问题在这种翻译下会得到更好的辨析。

然后我们在定义的形式语言中建立一个形式的公理系统。还会介绍一种有Gentzen建立的自然推演系统，对于计算机背景或者喜欢直觉主义逻辑的学生，这样的系统会显得更为“自然”。通过这些，让学生们学习和掌握形式证明的概念和技巧。

 

第三部分 一阶语言的结构和真值理论（约20学时）

这一部分讨论Tarski的形式语言中的真概念。我们首先定义一阶语言的结构，然后解释“一阶语言的公式在一个结构中为真”这一重要概念。事实上这一概念是模型论建立的基石。借助这一概念我们会讨论逻辑后承这一逻辑学的核心概念，以及有效式、矛盾式、可满足、不可满足等一阶逻辑语义学的核心内容。

然后我们将讨论数学中常见的同构以及可定义性等概念，这些概念今后的数理逻辑课程中会被广泛地使用。这部分内容可选。

 

第四部分 哥德尔完全性定理（约16学时）

证明一阶逻辑的可靠性定理和完全性定理，从而把语法和语义两方面联系起来。此外还会学习紧致性定理及其一些有趣的应用，从中会发现一阶逻辑的一些局限。

 

以上是第一学期课程的内容，自成体系，可以为学生们提供足够的理论知识与专业训练。我们鼓励有兴趣的同学选修第二学期的课程，我们将介绍更多更新的理论成果，联系计算机科学、哲学等其他学科，也可以为专业研究打下基础。

 

第五部分 递归论简介（约20学时）

哥德尔不完全性定理的一个副产品就是对递归函数的研究。后者与图灵发展的可计算性概念不谋而合。我们将介绍原始递归函数、部分递归函数概念，定义图灵机与图灵可计算函数。我们将证明部分递归函数与图灵机可计算函数是等价的概念，并由此引出丘奇论题。我们还将介绍递归可枚举集。

 

第六部分 简化版本的自然数模型（约18学时）

我们将在这部分回到关于模型论的内容。我们会引入一些模型论的技巧，介绍几个简化版本的自然数模型，并运用前者证明这些简化版本的自然数模型存在完全的公理化理论。

 

第七部分 哥德尔不完全性定理（约18学时）

运用教材中已介绍的概念与工具，我们将证明哥德尔的两个不完全性定理。我们选取罗宾逊算术作为一阶理论的代表。我们将展示如何通过算术的语法化在罗宾逊算术中表示主要的语法事态。不动点引理是不完全性定理证明的核心，我们将证明不动点引理并运用它构造哥德尔句。我们会先证明弱版本的第一不完全性定理，再介绍由罗瑟改进的对强版本的第一不完全性的证明。一般认为，哥德尔第二不完全性定理是第一不完全性定理的推论。而实际上到第二不完全性定理的证明并不平凡。其中，对诸如皮亚诺算术满足三个可证性条件的证明破费周折。我们将给出较详尽的证明过程。