【内容摘要】：《古今数学思想》一书内容丰富，全面论述了近代数学大部分分支的历史发展；篇幅不大，简明扼要。正如书名所指出的，本书着重讨论数学思想的古往今来，而不是单纯的史料传记，努力说明数学的意义是什么，各门数学之间以及数学和其他自然科学尤其是和力学、物理学的关系是怎样的。本书厚古薄今，主要篇幅是叙述了近两三百年的数学发展，着重在19世纪，有些分支写到20世纪30年代或40年代，作者对一些重要的数学分支的历史发展，对一些著名数学家的评论，都很有一些独到的见解，并且写的很引人入胜。

 

作者：莫里斯·克莱因， 译者：张理京、张锦炎、江泽涵

上海科学技术出版社，2002年7月第一版

 

【正文】在十一月上旬，数学科学学院应用数学系主任吴宗敏教授在3106给同学们做了一个关于一个哥廷根的讲座，我听完后感慨许多。哥廷根的辉煌已经过去很久了，但是它的精神至今仍然影响着整个数学界。本书的作者莫里斯·克莱因就是深受哥廷根数学传统影响的，因为他长期在纽约大学库朗数学研究所工作，而科朗数学研究所从某种程度上来说是哥廷根的一种延续。在数学的发展历程中，其发展中心也在不断的变动着，毫无疑问的是哥廷根是迄今为止最辉煌的一个中心。实际上，《古今数学思想》一书的一个重要脉络就是数学发展中心的迁移。

到了十六世纪，几何学的黄金时代过去了，欧氏几何经过上千年的沉淀已然相当完善，这时候代数学被大加追捧，由于文艺复兴的缘故，这个时代引领数学发展的是意大利人，那时候大家关注的核心是代数学中最基本而且核心的问题——解方程，一元一次方程和一元二次方程的理论早在此之前已经被数学家们完全的解决了，卡尔丹和塔塔利亚把笔尖指向一元三次方程的通解的表述形式，他们成功了。然而意大利人的核心地位很快随着英国军事和经济的崛起而被英格兰所取代。这时候一个伟大的人物出现了，他就是牛顿——人类数学史上的三巨头之一，一个被万人敬仰的大科学家。但是我们不得不提到另一个人——巴罗，有人说，一个伟大的男人身后一定有一个伟大的女人，但是我要说一个伟大的科学家的身后一定有一个伟大的老师。巴罗不仅发现了牛顿的杰出才华，而且他像第谷对待开普勒那样，把自己毕生的研究成果毫无保留的传授给了牛顿。在现在，我们谈到微积分创立的时候都会记住牛顿和莱布尼兹，但是巴罗的影响被忽略了，事实上他们两个都受到巴罗的巨大影响，巴罗事实上已经把微积分理论的基本思想的轮廓给勾勒出来了，很遗憾的是，他没有迈出那关键的一步。但是从某种意义上讲，巴罗是微积分历史上的第一人。诚然，我们中国的古书《庄子》中也有微积分思想的相关记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。然而很遗憾，中国在明末和清朝时代的闭关锁国让它没有与外界沟通的渠道，而且生产力上也被资本主义蓬勃发展的欧洲所赶超，经济上也一步步落后与欧洲列强，从而也就没有了发展微积分的土壤。春秋战国时代是公认的中华文明一个巅峰，《墨子》被认为是中国科技史上第一部综合性著作，其中出了讲述了大家所熟知的小孔成像的原理，还给出了很多几何图形的定义。比如圆，“圆，一中同长也”，至今我读其这句话，仍然对古人相当佩服，短短四个字就把圆的核心的本质揭示出来了。个人认为，春秋战国时代之所以如此成果丰硕，在于当时是一个思想百家争鸣的时代。所有的数学家都一致认可，问题是数学的心脏，而争论问题则可以大大加速问题的解决。17世纪的欧洲就具备了我国春秋战国时代的百家争鸣的特征，所以在那个时代欧洲数学领先于世界。

然而不幸的是，英国人以一种傲慢的姿态参与这场争论，而这个傲慢的态度让它在今后的三百年与重回数学发展的主流无缘。到了十八世纪，法国发生了资产阶级革命，法国产生了一个又一个的举世闻名的思想家，所有欧洲列强的君主都以与伏尔泰通信为荣，尽管事实上伏尔泰整天在写文章骂君主专制，这就是欧洲君主的气度，中国的皇帝却做不到这一点，所以那个时代欧洲的科学家思想家是在一个相当宽松的环境下从事着科研，可是那个时代的中国却频频兴起文字狱，这不禁让人有许多感慨。欧洲的王公贵族还有一个非常好的习惯，他们非常乐意去资助一些有名的科学家，拿破仑就是其中的一位，他还聘请很多有名的科学家到他的政府里出任高官，这样就让那些科学家没有了衣食之忧，从而可以一门心思的搞数学。然而同时代的中国却罕有专职的科学家，因为在中国读书人的意识里有着这样的一句话，“学而优则仕”，他们做学问做好了是为了做大官，加官进爵，封妻荫子，光宗耀祖，从而就没有精力接着做学术了，令人遗憾的是现在中国的高等教育界仍然有着这样的一股风气，很有才华的年轻学者一旦有了名气便被委以重任，某些时候这确实可以帮助提升这个机构的管理水平，但是我认为在有可替代人选的时候，我们为何不给学者一些更多的时间和空间，让他们为中国的科学发展做出更大的贡献呢。法国3L——拉普拉斯，拉格朗日，勒让德，他们是法国数学的功臣，他们都受到了前辈达朗贝尔的影响，尔后又一起培养了柯西——一位可与牛顿、高斯这几位顶级数学家相提并论的人物。而且柯西还为微积分的严密化做出了巨大的贡献，他提出来自己的微积分严密化理论。从这个时候开始，数学改变了近百年来牛顿所导向的为自然科学服务的主流方向，数学家们踏上了追求数学自身严密化、完备化的征途。

几乎与之同时，德国的数学家维尔斯特拉斯提出了另一套微积分严密化理论，这让他名声鹊起，然而在当时的德国有另外一位数学家有着更大的名声，他就是高斯，一个被称为数学王子的人。几乎与德国成为当时世界经济发展中心同时，德国成为了当时世界数学的中心，而促成这一点的是哥廷根的崛起，这座成立于1737年的大学，在1795年迎来了它建校史上的首位大人物，他就是高斯。高斯的成就不仅仅是他自己的那些在数学各个分支乃至在物理学的许多分支里随处可见的以他名字命名的定理公式，还有他所培养的七位得意弟子。他们在创立了数学学科的许多新分支。德国的大学当时有个很好的规定，学生大学毕业后必须要到另外一个学校去学习工作一段时间，才能回母校工作，高斯的徒弟有的去了柏林大学，有了去了汉堡大学，有的甚至后来就留在了那里，比如克罗内克，他就留在了柏林大学，成为了那里的中流砥柱，从而带动了整个德国数学的发展。我觉得这种机制是非常好的，不仅避免了近亲繁殖，避免了学术实力分布不均衡，而且有效的加强的学术交流，从而带动了整个国家的学术发展。中国知道前几年才注意到这一点，这才让博士或者博士后毕业了在不同的学校之间交流，从而加强了学术交流。而在此之前，很多大学的数学系都只是一块很强，比如复旦数学系的强项是偏微分方程和微分几何，而山东大学的强项是数论，北师大的强项是概率论，北大则稍微综合一点，但是在当今这个数学发展极为强调学科内交叉，学科间交叉的时代，这种缺乏交流的情况显然是不好的。交流、争论才能带来发展。

有人说，如果上帝有国籍，他一定是美国人，这个戏言很生动的说明了美国是个多么受上帝宠爱的国家，东西两大洋，南北无强敌，得天独厚的自然条件让它在19世纪末经济发展迅速，从而在20世纪初一跃成为世界第一经济体。经济的迅速发展也带动了美国科学的发展，可是美国毕竟是后发国家，在1868年到1934年间所有的美国籍数学博士一共才三百余名，其中有三分之一是德国大学帮忙培养的，而这之中大多数都是哥廷根的博士。希特勒帮了美国一个大忙，他残酷的纳粹政策，让很多优秀的德国科学家背井离乡，漂洋过海到美国发展，德国一下子从世界数学中心的位子上跌落下来，取而代之的是美国。而事实上，美国的大学数学的发展是哥廷根的某种延续，美国最优秀的数学系普林斯顿大学数学系是由希尔伯特的徒弟——外尔带领走向巅峰，美国最好的应用数学研究所纽约大学科朗数学研究所是由克莱因的高徒科朗所创立的，他们都是哥廷根学派的。

纵观整个数学史，我们很容易发现这样一个简单而又深刻的事实，数学发展中心的迁移同时代的政治、经济中心的迁移是基本吻合的。数学是整个自然科学的基础，数学的发展可以带动自然科学的发展，自然科学的发展可以带动社会生产力的提高，生产力的提高可以带动经济的发展，而经济的发展反过来又促进了数学发展,由此可见数学的发展是与经济的发展紧密相连的，而这一结论与上文数学发展中心迁移的过程也是相一致的。这些就是我读《古今数学思想》的一些感想。

 

【参考文献】

莫里斯·克莱因《古今数学思想》 上海科学技术出版社 2002年7月第一版

李文林         《数学史概论》       高等教育出版社 2002年8月 第二版

赫尔曼·外尔   《数学与自然科学之哲学》 上海世纪出版集团 2007年1月第八版