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知识体系

张量分析与微分几何基础”课程(实际授课每周约3学时,约54学时),目前主要按下述体系构建讲授内容:

1. 张量的基本代数性质(第一部分),2×3=6学时。将张量定义为有限维Euclid空间中的多重线性函数,涉及协变基、逆变基(对偶基)、简单张量及张量表示、张量并积、张量多点点积。

2. 有限维Euclid 空间中体积上张量场场论,6×3=18学时。基于有限维Euclid空间以及张量赋范线性空间上的微分学(引述一般赋范线性空间上微分学的相关理论),基于微分同胚定义曲线坐标系、曲线坐标诱导之局部基及其运动方程(引入Christoffel符号);基于张量场沿坐标线的偏导数/变化率引入张量分量的协变导数以及梯度算子;度量张量及Eddington张量;场论恒等式推导的一般方法;非完整基思想及方法;广义Gauss-Ostrogradskii公式;曲线几何特征(曲率及挠率),曲线上局部标架及其运动方程;应用方面,涉及弹性力学、流体力学中的基本关系式。

3. 有限维Euclid空间中曲面上张量场场论,4×3=12学时。曲面几何特征(第一基本形式、第二基本形式、Gauss曲率及平均曲率、截线曲率及主方向);曲面上局部标架及其运动方程;基于曲面上张量场沿坐标线的偏导数/变化率引入张量分量的协变导数以及曲面梯度算子;基于曲面上张量场沿坐标线的二阶偏导数,引入曲面上Ricci等式(Gauss方程)以及Codazzi方程;曲面内蕴形式广义Stokes公式。

4. 张量的基本代数性质(第二部分),3×3=9学时。引入置换算子、对称及反称化算子、外积运算、Hodge星算子;仿射量特征问题的相关表述,涉及行列式定义、主不变量表示、Cayley-Hamilton 定理。

5. 张量映照微分学,2×3=6学时。基于张量赋范线性空间上的微分学阐述可微性(一阶导数)、高阶导数等结论;特征问题相关结论。

6. 流形上微分学基本概念、思想及方法(此部分作为选讲或自习为主内容)。以有限维Euclid空间中光滑曲面(Riemann流形)作为对象,按微分同胚以及列满秩映照叙述的坐标卡以及地图册(概念及作用);流形上Riemann 度量、Levi-Civita联络、协变微分的坐标定义及其曲面上的具体实现;曲面切空间及余切空间;曲面上张量场;同态映照及其推前与拉回运算;曲面上张量场的Lie导数与物质导数、Hodge 星算子、里积运算、外微分运算,流形上主要微分运算之间的关系;力学、物理等方面的几何化相关内容。