数学物理方法大纲（PHYS130006.01）

 

l  复数、复变函数及其导数、柯西-黎曼条件、解析函数

l  复变函数积分、柯西定理、柯西公式及其推论、泊松积分公式

l  复变函数级数、幂级数、解析函数的级数表示

l  留数定理及其应用（定积分的计算）

l  多值函数、解析延拓、Gamma函数

u  一个高振荡函数的数值积分

u  多值函数：Bessel函数的一个加法公式

u  解析延拓：波在平板上透射

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l  微分方程的级数解（Frobenius and Fuchs定理：常点与正则奇点邻域方程的级数解）

l  狄拉克 delta函数、广义函数

l  傅里叶级数、傅里叶变换

u  线性响应的基本特性、Fourier变换与测不准关系

u  快速Fourier变换简介

u  有限宽度光束在不同介质平面界面的反射与折射

l  数学物理方程的定解问题、二阶线性偏微分方程的分类和简化

l  数理方程的求解：行波法、分离变量法

l  数理方程的求解：积分变换法

l  正交曲线坐标系、矢量分析

l  球函数：球坐标下的分离变量、勒让德方程、勒让德多项式、关联勒让德函数、球谐函数

u  矢量球谐函数、矢量球波函数

u  不可约张量与球谐函数

u  特殊函数与数值积分

u  静电势的多极展开

l  柱函数：柱坐标下的分离变量、柱贝塞尔方程、柱贝塞尔函数、球贝塞尔函数

u  求解积分渐近行为之鞍点法

u  求解积分渐近行为之稳相法

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l  Sturm-Liouville问题、Hermite多项式、Laguerre多项式及其物理应用

u  正交多项式的量子力学应用：一维谐振子、氢原子、Sturm-Liouville问题与量子化

u  希尔伯特空间简介

l  格林函数简介

u  周期与准周期格林函数的快速求和：广义Ewald求和