三个枪手问题
发布时间:2018-01-20浏览次数:435
这里讨论一下今天课上留下的最后一道题,不足之处欢迎指出。
这次课上三个决斗枪手的第三种情况原题如下:
(1)三个决斗的枪手,每人一把枪,每支枪里只有一发子弹,假定甲的命中率为100%,乙的命中率为80%,丙的命中率为60%。
(2)每人的目标:尽里使最少人活着,并且自己也活着。因此,最优结果是:其他两个人死,而自己活着;次优结果是:有一个活着,自己也活着;第三优结果是:三人同归于
尽;最差结果是:自己被打死而其他一个或两个枪手活着。
这里由于题目条件不足,无法得出有效的结论,因此在原题基础上进行了如下合理假设:
(1)三个枪手为理性聪明的,且所有决定只因题中给定的条件而作出。
(2)三个枪手同时开枪。
(3)只考虑枪手死或者活的状态,不考虑第三种状态。
(4)三个枪手的目标具体量化为自己活/死时期望+2/-2,他人活/死时期望+1/-1。这样,自己活其他两人死期望为4;两人(包括自己)活着期望为2;三人同归于尽或全都活着期望为0;一人(不是自己)活着期望为-2;两人(不包括自己)活着期望为-4。在此假设下的情况符合原题第二个条件。
(5)三个枪手只有三种选择:打另外两人或者故意打空。打自己由于在其他条件不变的情况下期望必然下降故不考虑。
(6)这里用A来表示甲,B表示乙,C表示丙。空格后的字母代表开枪对象N表示空,A表示甲,B表示乙,C表示丙。
基于上述假设可以得到如下的数学期望表:
结合博弈论相关知识,从表中可以得出如下结论:
(1)甲肯定不会选择打空。
(2)乙在选择打甲和打空之间肯定会选择打甲。
(3)丙在选择打甲和打空之间肯定会选择打甲。
基于上述结论,排除一些情况后进行假设能够得到两个纳什均衡:
(1)甲打丙,乙打甲,丙打乙。此时三人的收益期望为0,1.2,-1.2;
(2)甲打乙,乙打丙,丙打甲。此时三人的收益期望为1.2,0,-1.2。
而且,这两个纳什均衡都是可能出现的,因此最后无法得到确定的情况。
由于同时开枪的情况下无法得出结论,因此这里再引入更多合理的假设来试图得到一个确定的情况:假设命中率代表了各自出手的速度,并且出手快的那个人可以在出手慢的那人出手之前作出判断并开枪;忽略子弹飞行时间;死后无法再次出枪。
这里,乙有三种选择:
(1)打甲。这样甲会在乙开枪之前将其打死,这样丙会开枪打甲。这样的情况下,乙的收益期望为0.6*(-2)+0.4*(-4)=-2.8。
(2)打丙。这样丙如果死亡,则甲会把乙打死,乙的收益为-2。丙如果没有死亡,则甲会把丙打死,乙的收益为2。乙的收益期望为0.8*(-2)+0.2*2=-1.2
(3)打空。这样甲会把丙打死,乙的收益期望为2。
经过以上比较,得出结论,乙肯定会选择打空,而甲打丙,丙死亡。此时,三人的收益期望分别为2,2,-4。
综上所述,丙的收益期望是最低的,因此练好枪法还是很有必要的。