考古发现的乘法口诀文物

    最近有报道说，英国首相卡梅伦在视察一所学校做提高数学教学水平演讲时，回答不出9×8等于多少的提问。还说英国政府已要求所有儿童在小学毕业前，都应该学会12以内的乘法表，藉以加强数学教育，提高孩子们长大后的就业机会乃至英国在全球化经济角逐中的竞争力。

    另有报道还说，2013年，一个英国中小学校长交流团到浙江考察交流，在一堂小学三年级数学观摩课上，英国老师对中国学生能用乘法口诀马上得出答案赞叹不已。有趣的是，他们也试着学记九九口诀表，但中文四、五个字的口诀，译成英文却句子过长，发音也不合辙，效果很不理想。

    上述报道或许不乏媒体夸大的成分，但中国乘法口诀表的确具有单字发声，朗朗上口、好背易记等特点，而且早在二、三千年前就已经发明并且流行了，这在战国秦汉时代的文献中多有记载，随手检索，就能查到，已属于数学史常识。我这里更想说的是，近年来国内外一些相关文物的考古发现，又进一步实证了中国乘法口诀的发明和传播过程。

    先是2002年，在湖南省龙山县里耶镇的一口秦代古井中，发现了书写在一枚简牍上的九九乘法口诀表。这枚简牍长22厘米，宽4.5厘米，上部虽有残损，但文字基本清晰，缺字部分也可以推定出来（下图左）。口诀内容，共38句，依次排列，规律有序，分为六栏。按古代竖写和阅读自上而下、自右至左的习惯，依次为：

     九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五 四九卅六

        三九廿七 二九十八 八八六十四 七八五十六 六八四十八 五八四十 四八卅二

        三八廿四 二八十六 七七四十九 六七四十二 五七卅五 四七廿八 三七廿一

        二七十四 六六卅六 五六卅 四六廿四 三六十八 二六十二 五五廿五 四五廿

        三五十五 二五而十 四四十六 三四十二 二四而八 三三而九 二三而六

        二二而四 一二而二 二半而一 凡千一百一十三字

    作为目前发现的时代最早的实物，里耶秦代乘法口诀是从“九九八十一”开始，而不是我们现在从“一一得一”起读的。这实证了中国乘法口诀表之所以不叫“一一乘法口诀表”，而是叫“九九乘法口诀表”的由来。另外口诀表中的最后一句“二半为一”，反映了早在2000多年以前，古人就掌握了非整数的计算规律。末尾一句“凡千一百一十三字”，则表示各项乘积之和。

    据报道，2014年初，清华大学还发现了时代更早的战国实用算具——《算表》（上图右）。《算表》由21支竹简组成，通过竹简交叉构成21行、20列，分为乘数和被乘数个位、十位区。利用《算表》既能对含有分数1/2的两位数进行乘法运算，还能够快速计算100以内的两个任意整数乘除，功能超过了里耶乘法口诀表和古代其他乘法表。数学家们说，这不但填补了我国先秦数学文献实物的空白，在当时世界范围内也是相当先进的算法，是中国数学史乃至世界数学史上的一项重要发明。

    说起来，我国出土的古代乘法口诀或算法的文物，还不止于以上两类。早年在楼兰文书中的残纸上，近年在湖南张家界古人堤汉代遗址的简牍上，也都有过发现，证明了早在战国秦汉时期，我国的乘法运算方式已经达到了非常高的水平，并有了相当程度的社会普及范围。

    我国的乘法口诀还传播到国外。前几年，在日本奈良市相当于公元8世纪中国唐代，即日本奈良时代前后的平城宫遗址，首次出土了中国乘法口诀的木简，上面写着“二九十八、一九如九”等。这又实证了中国发明的乘法口诀算法，向外输出的历史过程。

                                               ——转自《科学画报》2015年第4期“公众考古”专栏